Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành là :

\(x^3-2x^2+\left(1-m\right)x+m=0\left(1\right)\)

Biến đổi tương đương phương trình này :

\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3-2x^2+x-mx+m=0\)

      \(\Leftrightarrow x\left(x^2-2x+1\right)-m\left(x-1\right)=0\)

       \(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x^2-x-m\right)=0\Leftrightarrow x=1\) hoặc \(x^2-x-m=0\left(2\right)\)

Gọi \(x_1,x_2\) là nghiệm của phương trình (2) thì :

\(t^2+x_1^2+x_2^2< 4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2< 3\Leftrightarrow m< 1\) (*)

Yêu cầu bài toán tương đương với (2) có hai nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\ne1\) thỏa mãn điều kiện (*)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}\Delta=1+4m>0\\1^2-1-m\ne0\\m< 1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{1}{4}< m< 1\\m\ne0\end{cases}\)

Câu 2: 

Thay x=0 và y=-3 vào (d), ta được:

m+2=-3

hay m=-5

- Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d'):

\(-x^2=mx-4\Leftrightarrow x^2+mx-4=0\left(1\right)\)

\(a=1;b=m;c=-4\)

\(\Delta=b^2-4ac=m^2-4.\left(1\right).\left(-4\right)=m^2+16>0\)

Vì \(\Delta>0\) nên (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂.

Theo định lí Viete cho phương trình (1) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{m}{1}=-m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-4}{1}=-4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left(x_1-x_2\right)^2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)=18\)

\(\Rightarrow\left(-m\right)^2-2.\left(-4\right)-\left(-m\right)-18=0\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-12=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy m=4 hay m=-3.

a)Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

\(\Rightarrow2=\left(m-2\right).0+m\) \(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy m=2 thì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

b) Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3

\(\Rightarrow0=\left(m-2\right)\left(-3\right)+m\) \(\Leftrightarrow m=3\)

Vậy...

c) Hàm số đi qua điểm A(1;2)

\(\Rightarrow2=\left(m-2\right).1+m\)\(\Leftrightarrow m=2\)

Vậy...

a) Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 

\(\Rightarrow\) điểm đó có tọa độ là \(\left(0;2\right)\)

\(\Rightarrow2=m\)

b) Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -3 

\(\Rightarrow\) điểm đó có tọa độ là \(\left(-3;0\right)\)

\(\Rightarrow0=-3m+6+m=-2m+6\Rightarrow m=3\)

c) Đồ thị đi qua điểm \(A\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow2=m-2+m\Rightarrow m=2\)

a: Thay x=2 và y=0 vào y=(m+1)x-1, ta được:

2(m+1)-1=0

=>2(m+1)=1

=>m+1=1/2

=>\(m=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}\)

b: Thay x=0 và y=2 vào y=(m+1)x-1, ta được:

\(0\cdot\left(m+1\right)-1=2\)

=>-1=2(vô lý)

Bài 1:

Đặt:  (d):  y = (m+5)x + 2m - 10

Để y là hàm số bậc nhất thì:  m + 5 # 0    <=>   m # -5

Để y là hàm số đồng biến thì: m + 5 > 0  <=>  m > -5

(d) đi qua A(2,3) nên ta có:

3 = (m+5).2 + 2m - 10

<=>  2m + 10 + 2m - 10 = 3

<=>  4m = 3

<=> m = 3/4

(d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 9 nên ta có:

9 = (m+5).0 + 2m - 10

<=> 2m - 10 = 9

<=>  2m = 19

<=> m = 19/2

(d) đi qua điểm 10 trên trục hoành nên ta có:

0 = (m+5).10 + 2m - 10

<=> 10m + 50 + 2m - 10 = 0

<=>  12m = -40

<=> m = -10/3

(d) // y = 2x - 1  nên ta có:

\(\hept{\begin{cases}m+5=2\\2m-10\ne-1\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}m=-3\\m\ne\frac{9}{2}\end{cases}}\)  <=>  \(m=-3\)

Giả sử (d) luôn đi qua điểm cố định M(x₀; y₀)

Ta có:  \(y_0=\left(m+5\right)x_0+2m-10\)

<=>  \(mx_0+5x_0+2m-10-y_0=0\)

<=>  \(m\left(x_o+2\right)+5x_0-y_0-10=0\)

Để M cố định thì:  \(\hept{\begin{cases}x_0+2=0\\5x_0-y_0-10=0\end{cases}}\)   <=>   \(\hept{\begin{cases}x_0=-2\\y_0=-20\end{cases}}\)

Vậy...